Теория Эйлера о смятии колонны - Строительство и ремонт

Теория Эйлера о смятии колонны используется для оценки критической нагрузки на смятие колонны, поскольку напряжение в колонне остается упругим. Критическая нагрузка на смятие – это максимальная нагрузка, которую может выдержать колонна, когда она находится на грани смятия. Смятие происходит, когда длина колонны больше по сравнению с ее поперечным сечением.

Теория Эйлера основана на определенных предположениях, связанных с точкой приложения осевой нагрузки, материалом колонны, поперечным сечением, предельными напряжениями и разрушением колонны. Действительность теории Эйлера проверяется при условии, что разрушение происходит из-за смятия.

Эта теория не учитывает эффект прямого напряжения в колонне, кривизну колонны, которая всегда присутствует, и возможное смещение точки приложения осевой нагрузки от центра сечения колонны. В результате теория может переоценить критическую нагрузку на смятие. Теория Эйлера о смятии колонн была изобретена Леонгардом Эйлером в 1757 году.

Содержание: [показать]

Теория Эйлера
Теория

Теория Эйлера утверждает, что напряжение в колонне от прямой нагрузки мало по сравнению с напряжением от разрушения при смятии. На основании этого утверждения была выведена формула для расчета критической нагрузки на смятие колонны. Таким образом, уравнение основано на напряжении изгиба и пренебрегает прямым напряжением, вызванным прямыми нагрузками на колонну.

Допущения

Изначально колонна идеально прямая.
Поперечное сечение колонны равномерно по всей ее длине.
Нагрузка является осевой и проходит через центр сечения.
Напряжения в колонне находятся в пределах предела упругости.
Материалы колонны однородны и изотропны.
Собственным весом колонны пренебрегаем.
Разрушение колонны происходит только из-за смятия.
Длина колонны велика по сравнению с ее поперечным сечением.
Концы колонны не испытывают трения.
Укорочение колонны вследствие осевого сжатия пренебрежимо мало.

Ограничения

В данной теории не учитывается возможность искривления колонны, и нагрузка может быть не осевой.
Осевое напряжение не учитывается в формуле, выведенной в теории Эйлера для смятия колонны, и критическая нагрузка на смятие может быть больше, чем фактическая нагрузка на смятие.

Критическая нагрузка на смятие

Максимальная осевая нагрузка, которую колонна может выдержать, когда она находится на грани смятия, называется калечащей нагрузкой или критической нагрузкой смятия (Pcr). На этом этапе предельное напряжение в колонне меньше предела текучести материала, и колонна защемлена с обоих концов:

Pcr= EI(PI/KL) ^2 Уравнение 1

Где:

Pcr: Критическая нагрузка на смятие

E: Модуль упругости

I: Момент инерции, который равен площади поперечного сечения, умноженной на радиус гирации.

L: Длина тонкой колонны

K: Эффективный коэффициент длины, который зависит от условий опирания колонны, как показано на рис. 1.

Конечные условия

Отказ
колонн

Смятие происходит, когда поперечное сечение колонны мало по сравнению с ее высотой. Смятие происходит вокруг оси с минимальным радиусом гирации или наименьшим моментом инерции. Формула критической нагрузки смятия может быть выражена в терминах радиуса гирации:

Pcr= Ear^2(PI/KL) ^2 Уравнение 2

Или

Среднее сжимающее напряжение на колонне/E= (PI)^2/(KL/r)^2 Уравнение 3

Уравнение 3 является наиболее удобной формой представления теоретических и экспериментальных результатов для задач смятия. Отношение KL /r называется коэффициентом смятия.

Разрушение колонны происходит при чисто осевом сжатии при условии, что напряжение в колонне достигает предела текучести материала. Однако, если критическое напряжение смятия меньше предела текучести, то колонна разрушится при смятии до достижения предела текучести.

Разрушение тонкой колонны при смятии
Разрушение длинной колонны

Условные обозначения для изгибающих моментов

Изгибающий момент, который изгибает колонну так, что она становится выпуклой по отношению к начальной центральной линии элемента, считается положительным.

Изгибающий момент, который изгибает колонну так, что она становится вогнутой по отношению к начальной центральной линии элемента, считается отрицательным.

Условные обозначения для изгибающего момента

Читайте далее:

Теория Эйлера Теория