Метод распределения моментов в структурном анализе

Метод распределения моментов предлагает удобный способ анализа статически неопределимых балок и жестких рам. В методе распределения моментов каждый шарнир анализируемой конструкции фиксируется таким образом, чтобы создать фиксированные конечные моменты.
Затем каждый фиксированный шарнир последовательно освобождается, и фиксированные конечные моменты (которые к моменту освобождения не находятся в равновесии) распределяются на соседние элементы до достижения равновесия.
Более того, метод распределения моментов в математических терминах можно представить как процесс решения набора одновременных уравнений с помощью итерации. Кроме того, он относится к категории методов структурного анализа, основанных на перемещении.
Наконец, метод распределения моментов в структурном анализе подробно представлен в следующих разделах, а также приведен пример решения.

  • Каркасные конструкции
  • Процедура анализа распределения моментов для балок
  • Анализ статически неопределимой балки методом распределения моментов
    • Моменты с фиксированным концом
    • Коэффициенты распределения
    • Коэффициенты переноса
    • Детали вычислений
    • Результаты
    • Диаграмма сдвигающей силы и изгибающего момента
    • Результат метода распределения моментов в сравнении с результатом метода матрицы жесткости
  • Основные определения терминов в методе распределения моментов в структурном анализе

    Моменты в неподвижных концах

    Моменты от неподвижных концов — это моменты, возникающие на концах элементов при закреплении соединений. В таблице 1 приведены уравнения для вычисления моментов в неподвижных концах.
    Таблица 1: Уравнения для расчета неподвижных моментов
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент
    Фиксированный конечный момент

    Жесткость при изгибе

    Жесткость при изгибе (EI/L) элемента представлена как произведение модуля упругости (E) и второго момента площади (I), деленное на длину (L) элемента. Кроме того, в методе распределения моментов требуется не точное значение, а отношение жесткостей изгиба всех элементов.

    Коэффициенты распределения

    Коэффициенты распределения могут быть определены как пропорции несбалансированных моментов, переносимых каждым из членов.

    Коэффициенты переноса

    Несимметричные моменты переносятся на другой конец элемента при разжатии шарнира. Отношение перенесенного момента на другом конце к фиксированному моменту начального конца является коэффициентом переноса.
    Наконец, для призматических элементов переносимый момент в каждом пролете имеет тот же знак, что и момент конца распределения, но в два раза меньше.

    Условное обозначение

    Любой момент, действующий по часовой стрелке, считается положительным. Это отличается от обычного инженерного знака, в котором используется декартова система координат с положительной осью x вправо и положительной осью y вверх, в результате чего положительный момент относительно оси z направлен против часовой стрелки.
    Сравнение распределения моментов и общепринятых условных обозначений

    Распределение момента и сравнение общепринятой системы координат

    Каркасные конструкции

    Рамные конструкции с боковыми стенками или без них могут быть проанализированы с помощью метода распределения моментов.

    Процедура анализа распределения моментов для балки

    1. Сдерживание всех возможных перемещений.
    2. Затем вычислите коэффициенты распределения:
    Коэффициент распределения DFi элемента, соединенного с любым шарниром J, равен
    clip_image026
    где S — вращательная жесткость, и оценивается по:
    clip_image027
    3. После этого определите коэффициенты переноса

    Коэффициент переноса к неподвижному концу всегда равен 0,5, в противном случае он равен нулю.
    4. Далее вычислите моменты неподвижного конца. (Таблица 1).
    Они могут быть вызваны нагрузками в пролете, изменением температуры и/или относительным смещением между концами элемента.
    5. Затем проведите циклы распределения для всех соединений одновременно.
    6. Каждый цикл состоит из двух этапов:
    Распределение выходящих из равновесия моментов Мо, где
    клип_изображение029
    Тогда;
    клип_изображение030
    где

    Me: внешний момент, приложенный к суставу (если есть)
    Mo: общий момент вне равновесия на шарнире
    FEMi: момент, приложенный к неподвижному концу
    Mi: момент, распределенный на любой член
    DFi: коэффициент распределения члена i

    7. Вычисление переносимого момента на дальнем конце каждого элемента.
    Процедура прекращается, когда на всех шарнирах момент выхода из равновесия имеет пренебрежимо малое значение. В этом случае шарниры должны быть сбалансированы и моменты переноса не вычисляются.
    8. Наконец, вычислите окончательный момент на каждом конце каждого элемента.
    Это сумма всех моментов (включая FEM), вычисленных во время циклов распределения.

    Анализ статически неопределимой балки методом распределения моментов

    • Элементы AB, BC, CD имеют одинаковую длину. клип_изображение001.
    • Изгибные жесткости равны EI, 2EI, EI соответственно.
    • Концентрированная нагрузка величиной клип_имидж002действует на расстоянии клип_имидж003от опоры A.
    • Равномерная нагрузка интенсивности клип_имидж004действует на BC.
    • Член CD нагружен в середине пролета сосредоточенной нагрузкой величиной clip_image005.

    Пример неопределимой балки

    Пример неопределимой балки

    Моменты на концах балки

    В следующих расчетах моменты против часовой стрелки положительны:
    clip_image006
    clip_image007
    клип_изображение008
    clip_image009
    клип_изображение010
    клип_имидж011
    клип_имидж012
    клип_имидж013
    клип_имидж014
    клип_имидж015
    Коэффициенты распределения для шарниров A и D равны DAB = DDC = 1.
    Коэффициенты переноса составляют клип_имидж016, за исключением коэффициента переноса от D (неподвижная опора) к C, который равен нулю.

    Детали расчетов

    Таблица 2: детали расчетов распределения моментов
    Соединения

    A

    B

    C

    D

    Коэффициенты распределения
    0
    1
    0.2727
    0.7273
    0.6667
    0.3333
    Моменты фиксированных концов
    14.700
    -6.300
    8.333
    -8.333
    12.500
    -12.500
    Шаг 1
    -14.700
    -7.350
    Шаг 2
    1.450
    3.867
    1.934
    Шаг 3
    -2.034
    -4.067
    -1.017
    Шаг 4
    0.555
    1.479
    0.739
    Шаг 5
    -0.246
    -0.493
    -0.123
    Шаг 6
    0.067
    0.179
    0.090
    Шаг 7
    -0.030
    -0.060
    -0.015
    Шаг 8
    0.008
    0.022
    0.011
    Шаг 9
    -0.004
    -0.007
    -0.002
    Шаг 10
    0.001
    0.003
    Сумма моментов
    -11.569
    11.569
    -10.186
    10.186
    -13.657

    Результаты

    Моменты в стыках, определенные методом распределения моментов
    клип_имидж019
    клип_имидж020
    клип_имидж021
    клип_имидж022
    Здесь используется условный знак инженера, т.е. положительные моменты вызывают удлинение в нижней части балки.

    Диаграмма сдвигающей силы и изгибающего момента

    В таблице 3 приведена диаграмма сдвига и момента для анализируемой балки. Обратите внимание, что метод распределения моментов определяет только моменты на стыках.
    Более того, построение полной диаграммы изгибающих моментов требует дополнительных расчетов с использованием определенных моментов в стыках и равновесия внутреннего сечения.
    Таблица 3: диаграмма сдвигающих усилий и моментов для анализируемой неопределимой балки
    Диаграмма сдвигающей силы
    клип_имидж023
    Диаграмма изгибающего момента
    клип_имидж025

    Результат метода распределения моментов в сравнении с результатом метода матрицы жесткости

    Для сравнения ниже приведены результаты для того же пучка с использованием матричного метода. Как можно заметить из приведенного выше анализа, итерационный процесс проводился с точностью >0,01. Удивительно, но тот факт, что результаты матричного анализа и результаты анализа распределения моментов совпадают с точностью до 0,001, является простым совпадением.
    Моменты в соединениях, определенные матричным методом
    clip_image019[1]
    clip_image020[1]
    clip_image021[1]
    clip_image022[1]

    Читайте далее:
    Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
    Центрсельстрой